fine contratto post ingresso in obbligatoria: documenti all'inps?

Salve, mi serve un'informazione.
Il mio contratto a td è scaduto il 9 giugno e sono in obbligatoria dal 3 giugno; a scuola ho consegnato il certificato della ginecologa per l'obbligatoria ma proprio adesso mi è venuto un dubbio: non è che dopo la scadenza del contratto avrei dovuto presentare qualcosa anche all'inps o a qualche altro ente?

Inoltre, se non ricordo male, la segreteria di scuola mi ha detto che devo fare avere il certificato di nascita (o il codice fiscale, non ricordo) della bambina, confermate?

Grazie